Tableau récapitulatif : limite d'une somme de suites

Propriété

Soit `(u_n)`  et `(v_n)` deux suites. On s'intéresse à la limite de la suite `(u_n+v_n)` .
FI signifie Forme Indéterminée.

\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \boldsymbol{\lim\limits_{n \to +\infty}u_n} & \ell_1 \in \mathbb{R} & \ell \in \mathbb{R} & \ell \in \mathbb{R} & +\infty & \color{red}{+\infty} & -\infty\\ \hline \boldsymbol{\lim\limits_{n \to +\infty}v_n} & \ell_2 \in \mathbb{R} & +\infty & -\infty & +\infty & \color{red}{-\infty} & -\infty\\ \hline \boldsymbol{\lim\limits_{n \to +\infty}\left(u_{n}+v_{n}\right)} & \ell_1+\ell_2 & +\infty & -\infty & +\infty & \color{red}{\textbf{FI}} & -\infty \\ \hline \end{array}\)

Par exemple, l'avant-dernière colonne du tableau signifie que, si \(\lim\limits_{n \to +\infty}u_n=+\infty\)  et \(​​\lim\limits_{n \to +\infty}v_n=-\infty\) , on ne peut pas conclure directement.

Remarque

Attention ! Forme indéterminée ne signifie pas que la suite `(u_n+v_n)` n'a pas de limite ! En effet,

• Soit `(u_n)` définie par  `u_n=n²`   et `(v_n)` définie par  \(v_n=n²+1\) . \(​​​ ​ ​ ​\)
  On a \(​​\lim\limits_{n \to +\infty}n^2=+\infty\)  et \(​​\lim\limits_{n \to +\infty}\left(-n^2+1\right)=-\infty\) .
  Or,  `n^2-n^2+1=1`  donc \(​​\lim\limits_{n \to +\infty}\left(n^2-n^2+1\right)=1\) .
  Dans ce cas, la suite  `(u_n+v_n)` a pour limite `1` .
• Soit `(u_n)` définie par  `u_n=2n²`   et `(v_n)` définie par  \(v_n=-n^2\) .
  On a  \(\lim\limits_{n \to +\infty}2n^2=+\infty\)  et \(​​\lim\limits_{n \to +\infty}-n^2=-\infty\) .
  Or, `2n^2-n^2=n^2`  donc \(​​\lim\limits_{n \to +\infty}\left(2n^2-n^2\right)=+\infty\) .
  Dans ce cas, la suite \((u_n+v_n)\) a pour limite `+\infty` .